Metode Titik tetap (Fixed Point)

Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0.

Teorema :

Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {X_n} adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka

Jika X_n = x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

Sumber gambar : karlcalculus

 

Prosedur Metode Titik Tetap

Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x₁. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x₁) = x₂, setelah itu titik x₂ yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x₂) = x₃. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

x₁ (penetuan titik awal)

x₂ = g(x₁) (iterasi pertama)

x₃ = g(x₂) (iterasi kedua)

.

.

.

x_n = g(x_n-1) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|x_n - x_n-1| < ).

Contoh :

Selesaikan persamaan x – e^-x = 0 dengan menggunakan Fixed Point dengan 10 iterasi atau sampai dua angka dibelakang koma tidak berubah.

Penyelesaian :

f(x) = x – e^-x

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk x = g(x), sehingga diperoleh x = e^-x

misal kita ambil titik awalnya x₁ = 0.5, maka iterasinya adalah x_n+1 = e^-x_{n} akan diperoleh

x₁ = 0.5 (penetuan titik awal)

f(x₁) = 0.5 – e^-0.5 = -0.1065

x₂ = g(x₁) = e^-0.5 = 0.6065 (iterasi pertama)

f(x₁) = 0.6065 – e^-0.6065 = 0.0612

x₃ = g(x₂) = e^-0.6065 = 0.5452 (iterasi ke-2)

f(x₁) = 0.5452 – e^-0.5452 = -0.0345

x₄ = g(x₃) = e^-0.5452 = 0.5797 (iterasi ke-3)

f(x₁) = 0.5797 – e^-0.5797 = 0.0196

.

.

.

x₉ = g(x₈) e^-0.5664 = 0.5675 (iterasi ke-9)

f(x₁) = 0.5 – e^-0.5 = -0.1065

x₁₀ = g(x₉) e^-0.5675 = 0.5669 (iterasi ke-10)

f(x₁) = 0.5 – e^-0.5 = -0.1065

sehingga apabila ditulis dalam bentuk table akan diperoleh

n	xn	g(xn-1)	f(xn)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0.5 0.6065 0.5452 0.5797 0.5600 0.5712 0.5648 0.5684 0.5664 0.5675	0.6065 0.5452 0.5797 0.5600 0.5712 0.5648 0.5684 0.5664 0.5675 0.5669	-0.1065 0.0612 -0.0345 0.0196 -0.0112 0.0006 -0.0003 0.00019 -0.00011 0.00005

Jadi hampiran akar yang diperoleh menggunakan Fixed Point adalah 0.5675

Contoh 2 :

Hitunglah hampiran akar dari persamaan x² – 2x – 3 = 0 pada interval [1, 4] menggunakan Fixed Point.

Penyelesaian :

Misal persamaan x² – 2x – 3 = 0 diubah menjadi x(x – 2) – 3 = 0 sehingga diperoleh x = dan iterasinya menjadi x_n+1 = . ambil titik awal x₁ = 4.

Sehingga apabila ditulis dalam tabel diperoleh :

n	xn	g(xn-1)	f(xn)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19	4 1.5 -6 -0.375 -1.2631 -0.9193 -1.0276 -0.9908 -1.003 -0.999 -1.00033 -0.9989 -1.00036 -0.99988 -1.00004 -0.99998 -1.00001 -0.99999 -1.00000	1.5 -6 -0.375 -1.2631 -0.9193 -1.0276 -0.9908 -1.003 -0.999 -1.00033 -0.9989 -1.00036 -0.99988 -1.00004 -0.99998 -1.00001 -0.99999 -1.00000 -1.00000	5 -3.75 45 -2.1093 1.1216 -0.3162 0.1111 -0.0367 0.012 -0.00039 0.00013 -0.00043 0.00014 -0.00004 0.000016 -0.000008 0.00004 -0.000004 0

Jadi akar dari f(x) = x² – 2x – 3 = 0 adalah -1

Sekarang bagaimana jika fungsi pada Contoh 2 kita ubah menjadi x = ? Berapa nilai akarnya? Pada kasus ini jika menggunakan Fixed Point maka kita tidak akan menemukan hampiran akarnya karena fungsi tersebut divergen. Bagaimana cara kita bisa menentukan bahwa fungsi tersebut divergen atau konvergen? Perhatikan teorema dibawah ini.

Teorema :

Diketahui g kontinu pada [a, b] dan paling sedikit memiliki satu akar pada [a, b] jika |g’(x)| M < 1, x [a, b] maka iterasi x_n+1 = g(x_n) dengan x_i [a, b] menghasilkan barisan {X_n} konvergen yaitu x_n = L {X_n} 0

x = = g(x)

g’(x) = 3x², dimana 3x² 0, maka menurut Teorema diatas g(x) divergen.

INGAT : dalam Fixed Point, g(x) harus konvergen. Jika divergen, maka tidak bisa dilakukan perhitungan akar menggunakan Fixed Point ini