Metode Regular Falsi (Regular Falsi Method)

Metode Regular Falsi adalah panduan konsep Metode Bagi-Dua dan Metode Secant. Menggunakan konsep Metode Bagi-Dua karena dimulai dengan pemilihan dua titik awal x₀ dan x₁ sedemikian sehingga f(x₀) dan f(x₁) berlawanan tanda atau f(x₀)f(x₁) < 0. Kemudian menggunakan konsep Metode Secant yaitu dengan menarik garis l dari titik f(x₀) dan f(x₁) sedemikian sehingga garis l berpotongan pada sumbu – x dan memotong kurva / grafik fungsi pada titik f(x₀) dan f(x₁). Sehingga Metode Regular Falsi ini akan menghasilkan titik potong pada sumbu-x yaitu x₂ yang merupakan calon akar dan tetap berada dalam interval [x₀, x₁]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut interval [x_n-1, x_n] yang semuanya berisi akar f.

Prosedur Metode Regular Falsi

Menentukan interval titik awal x₀ dan x₁ sedemikian sehingga f(x₀)f(x₁) < 0. Setelah itu menghitung x₂ = x₁ – . Kemudian periksa apakah f(x₀)f(x₂) < 0 atau f(x₁)f(x₂) < 0, jika f(x₀)f(x₂) < 0 maka x₀ = x₀ atau x₂ = x₁, jika tidak maka x₁ = x₁ atau x₂ = x₀. Kemudian ulangi terus langkah-langkah tersebut sampai ketemu ‘akar’ yang paling mendekati ‘akar yang sebenarnya’ atau mempunyai error yang cukup kecil.

Secara umum, rumus untuk Metode Regular Falsi ini adalah sebagai berikut

x_n+1 = x_n –

Untuk mendapatkan rumus tersebut, perhatikan gambar diatas.

syarat : f(x₀)f(x₁) < 0

pandang garis l yang melalui (x₀, f(x₀)) dan (x₁, f(x₁)) sebagai gradien garis, sehingga diperoleh persamaan gradient sebagai berikut

=

karena x₂ merupakan titik potong pada sumbu – x maka f(x₂) = 0 = y, sehingga diperoleh

=

x₁ – x₂ =

x₂ = x₁ –

atau jika ditulis secara umum menjadi

x_n+1 = x_n –

Contoh :

Tentukan akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x₀ = -1 dan x₁ = 3

f(-1) = 4(-1)³ – 15(-1)² + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

x₂ = (3) – = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)³ – 15(1.8)² + 17(1.8) – 6 = -0.672

f(3) f(1.8) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.8 dan x₁ = 3

iterasi 2 :

x₂ = (3) – = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)³ – 15(1.84319)² + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

f(3) f(1.84319) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.84319 dan x₁ = 3

iterasi 3 :

x₂ = (3) – = 1.87919

f(1.87919) = 4(1.87919)³ – 15(1.87919)² + 17(1.87919) – 6 = -0.47975

f(3) f(1.87919) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.87919 dan x₁ = 3

iterasi 4 :

x₂ = (3) – = 1.90829

f(1.90829) = 4(1.90829)³ – 15(1.90829)² + 17(1.90829) – 6 = -0.38595

f(3) f(1.90829) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.90829 dan x₁ = 3

iterasi 5 :

x₂ = (3) – = 1.93120

f(1.93120) = 4(1.93120)³ – 15(1.93120)² + 17(1.93120) – 6 = -0.30269

f(3) f(1.93120) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.93120 dan x₁ = 3

iterasi 6 :

x₂ = (3) – = 1.94888

f(1.94888) = 4(1.94888)³ – 15(1.94888)² + 17(1.94888) – 6 = -0.23262

f(3) f(1.94888) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.94888 dan x₁ = 3

iterasi 7 :

x₂ = (3) – = 1.96229

f(1.96229) = 4(1.96229)³ – 15(1.96229)² + 17(1.96229) – 6 = -0.17597

f(3) f(1.96229) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.96229 dan x₁ = 3

iterasi 8 :

x₂ = (3) – = 1.97234

f(1.97234) = 4(1.97234)³ – 15(1.97234)² + 17(1.97234) – 6 = -0.13152

f(3) f(1.97234) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.97234 dan x₁ = 3

iterasi 9 :

x₂ = (3) – = 1.97979

n	x0	x1	x1	f(x0)	f(x1)	f(x2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 1.8 1.84319 1.87919 1.90829 1.93120 1.94888 1.96229 1.97234	3 3 3 3 3 3 3 3 3	1.8 1.84319 1.87919 1.90829 1.93120 1.94888 1.96229 1.97234 1.97979	-42 -0.672 -0.57817 -0.47975 -0.38595 -0.30269 -0.23262 -0.17597 -0.13152	18 18 18 18 18 18 18 18 18	-0.672 -0.57817 -0.47975 -0.38595 -0.30269 -0.23262 -0.17597 -0.13152 -0.09741

 

Jadi akar dari persamaan 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi adalah 1.97979