Metode Regular Falsi adalah panduan konsep Metode Bagi-Dua dan Metode Secant. Menggunakan konsep Metode Bagi-Dua karena dimulai dengan pemilihan dua titik awal x0 dan x1 sedemikian sehingga f(x0) dan f(x1) berlawanan tanda atau f(x0)f(x1) < 0. Kemudian menggunakan konsep Metode Secant yaitu dengan menarik garis l dari titik f(x0) dan f(x1) sedemikian sehingga garis l berpotongan pada sumbu – x dan memotong kurva / grafik fungsi pada titik f(x0) dan f(x1). Sehingga Metode Regular Falsi ini akan menghasilkan titik potong pada sumbu-x yaitu x2 yang merupakan calon akar dan tetap berada dalam interval [x0, x1]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut interval [xn-1, xn] yang semuanya berisi akar f.
Prosedur Metode Regular Falsi
Menentukan interval titik awal x0 dan x1 sedemikian sehingga f(x0)f(x1) < 0. Setelah itu menghitung x2 = x1 – ![\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tMNzfsTmTJx8U4AE3Dzfa0VQ8Dm44rwL84GbywMPUoT8_sQYaypec6M56lX2EBq2XlIN69zxT1d0R3fb-Di0WZRK9LlMcq-97fEpwKjnu4GH61DjfMPty6n5y-wTY2-6YDx4KOdOhP1eS3k3YqXBcer4HHJU4XbIOZS9kRlzlRh2_d7uqVsomPH5OvuIlbBV0=s0-d "\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}")
. Kemudian periksa apakah f(x0)f(x2) < 0 atau f(x1)f(x2) < 0, jika f(x0)f(x2) < 0 maka x0 = x0 atau x2 = x1, jika tidak maka x1 = x1 atau x2 = x0.
Kemudian ulangi terus langkah-langkah tersebut sampai ketemu ‘akar’
yang paling mendekati ‘akar yang sebenarnya’ atau mempunyai error yang
cukup kecil.
. Kemudian periksa apakah f(x0)f(x2) < 0 atau f(x1)f(x2) < 0, jika f(x0)f(x2) < 0 maka x0 = x0 atau x2 = x1, jika tidak maka x1 = x1 atau x2 = x0.
Kemudian ulangi terus langkah-langkah tersebut sampai ketemu ‘akar’
yang paling mendekati ‘akar yang sebenarnya’ atau mempunyai error yang
cukup kecil.
Secara umum, rumus untuk Metode Regular Falsi ini adalah sebagai berikut
xn+1 = xn – ![\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXXuJ_aaJMQi58Atbp9X6J82H5Avl3-g3GjrddMInLz39Pja8mmC8E-GxSY5lUWmaX94x74V6sbkV76Z0P5sbbQQ2-HB9gzy0ZLS-QriW4RpiU0Pfd998VnDDiylj8Ewc0FjF5IPkrlau-1Hu2VM_XKPZBnDqfrKulrEVkJY0MEYSWduH1ykBMOkXw6BvVXelqQWHQBcBlpBpsb4oigjc0=s0-d "\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}")
Untuk mendapatkan rumus tersebut, perhatikan gambar diatas.
syarat : f(x0)f(x1) < 0
pandang garis l yang melalui (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)) sebagai gradien garis, sehingga diperoleh persamaan gradient sebagai berikut
= 
karena x2 merupakan titik potong pada sumbu – x maka f(x2) = 0 = y, sehingga diperoleh
= 
x1 – x2 =
x2 = x1 – 
atau jika ditulis secara umum menjadi
xn+1 = xn –
Contoh :
Tentukan akar dari 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi sampai 9 iterasi.
Penyelesaian :
f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6
iterasi 1 :
ambil x0 = -1 dan x1 = 3
f(-1) = 4(-1)3 – 15(-1)2 + 17(-1) – 6 = -42
f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u6BpD-woQzLQ5415C2shHF9CEtl2d0ZhaHaDZ40a6tJSTSFx5eUAIZFqdSrDR5G0bhxMRrox1cSd-BplPHeNzkotadqhnHJKh31ZBM_bND5qhGt4QX42mWqqKDWG3WNBBrUayXSDJOjmBNQOvIoewBU46YEyVGEjZ80NofkDX0tKEnwuWDskWH=s0-d "\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}")
= 1.8
= 1.8
f(1.8) = 4(1.8)3 – 15(1.8)2 + 17(1.8) – 6 = -0.672
f(3) f(1.8) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.8 dan x1 = 3
iterasi 2 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.8]}{18-(-0.672)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tHFUQqPhycDtzKN2vVLpuWD5hhEzT7R3eCtNchfzb56qaBtcG-NQnzFvKB86wt1t-gdnlnulB6GVbyIkx18V4BTcpzst5ZgdIaUfYL0kF8qKiBU-I9ONywqP19OpBpaBF6cgAr3ii21G1fdBKMxv5dJqpg09QZ8akrHitbzPfXefzIl5KofSv9uBU=s0-d "\frac{(18)[3-1.8]}{18-(-0.672)}")
= 1.84319
= 1.84319
f(1.84319) = 4(1.84319)3 – 15(1.84319)2 + 17(1.84319) – 6 = -0.57817
f(3) f(1.84319) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.84319 dan x1 = 3
iterasi 3 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.57817)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTZ3RKSBiFIWxqr6B6xQRoaBNnb-zZT77PWiYeF5PqA_J8Z66jWIiU5jHqkYFx-C2hKLLe0wLTNNMqyPCOq_EIztWnFnTnV95cc1sxRxAohPSwM6mhXfwy5Z15F57sgBtCNQSH2vVOWsdCsLMSj3ebFcypCOR8c-cvgF0-OiarLbTQWhUjUjD_DP5rybgkVQ=s0-d "\frac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.57817)}")
= 1.87919
= 1.87919
f(1.87919) = 4(1.87919)3 – 15(1.87919)2 + 17(1.87919) – 6 = -0.47975
f(3) f(1.87919) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.87919 dan x1 = 3
iterasi 4 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.47975)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sPB75XkXpl_hCg5EeDYDBkWy-pD7MKpZINKtnPUmCmf1hASUOWYfbG6VLB7cbM-9tuOUZ9KB3u3t2zBoUz7uVZH-2OOFZWPg3Dkz00-iqRVd9QPFl-3WZdDb-MFqfrNMV3b6nLzKEEAaATaK0XAdGGHhY6DMN5RKsbYxdyQJxYGDh_TmJ4UBbV_7M89YyAag=s0-d "\frac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.47975)}")
= 1.90829
= 1.90829
f(1.90829) = 4(1.90829)3 – 15(1.90829)2 + 17(1.90829) – 6 = -0.38595
f(3) f(1.90829) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.90829 dan x1 = 3
iterasi 5 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.90829]}{18-(-0.38595)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uE2Rb9ObKQWxKlIe78FvDTqkTFjuE3czy2W3Zhn1TpuKicS1pbrOlpzKvMHQ-mLeKX3Sr_Si7Kg5-at0TRTX4_zv949mVLKRrxm6hHMAkk0oRhJWULXDa_iDg1sjKFFRMHnIZILPWPz2ik6YlKZyZSIA0n6_cD5W-1sO720jAcL1nw1UzHoH1KzpHW2pdbSw=s0-d "\frac{(18)[3-1.90829]}{18-(-0.38595)}")
= 1.93120
= 1.93120
f(1.93120) = 4(1.93120)3 – 15(1.93120)2 + 17(1.93120) – 6 = -0.30269
f(3) f(1.93120) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.93120 dan x1 = 3
iterasi 6 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.93120]}{18-(-0.30269)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tsLMGBNAhlLtCQiWxgCW38NnDrekCzLmhAHwJAkYV2ixZAT3XQXyGih2IS_IrE6qvrNl1sI-nBd82lDHaWNKGM3LqOskKWDo9NXaLFTNeK1TyGTJEGYPExQo_mPOvPEkuMCZLe1k2UFl6meb_oqv7YLxj0yFu88G8xKQj7JG239rtCroF-yEc3266RWhWdRNs=s0-d "\frac{(18)[3-1.93120]}{18-(-0.30269)}")
= 1.94888
= 1.94888
f(1.94888) = 4(1.94888)3 – 15(1.94888)2 + 17(1.94888) – 6 = -0.23262
f(3) f(1.94888) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.94888 dan x1 = 3
iterasi 7 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.94888]}{18-(-0.23262)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vAdA9mjgxoz4bFjT1pCumc5O-wRz5q9y2qLSWwcKuqM9eLUjCvM7LcbT5xNHZhy4yRk2HHwUtXb7hDVGlD4RSqUgCdLxWB9TcVi8aiE_XU0BpkmGw5QbKrOl_AmVx9F1ApKluRag_UcuI9TV60NvaptPYmJkG1IL8jTxh88EjDblaH5V1eSU5PFHV4R63F-w=s0-d "\frac{(18)[3-1.94888]}{18-(-0.23262)}")
= 1.96229
= 1.96229
f(1.96229) = 4(1.96229)3 – 15(1.96229)2 + 17(1.96229) – 6 = -0.17597
f(3) f(1.96229) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.96229 dan x1 = 3
iterasi 8 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.96229]}{18-(-0.17597)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smsUmLyC-mdwwfsAhThxj9x2q6ph98sqqbqw4ZQ2XIktRaS5UlwvLmmb6BzT8EB9-aG7duHRWyLTdvxBVaWPi52bMZUrSzh1Sj0f7Q4uxd1D5Hvl3k-sMlA5gYW5RqHqLoXIEL0QSUk3RIzrKZ1v5kQuiAdLJjqUHZp9Y8wTxBR8tiepBC4CIZFKR4qEW4UNw=s0-d "\frac{(18)[3-1.96229]}{18-(-0.17597)}")
= 1.97234
= 1.97234
f(1.97234) = 4(1.97234)3 – 15(1.97234)2 + 17(1.97234) – 6 = -0.13152
f(3) f(1.97234) < 0 maka ambil x0 = x2 = 1.97234 dan x1 = 3
iterasi 9 :
x2 = (3) – ![\frac{(18)[3-1.97234]}{18-(-0.13152)}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uFhHpMJYWvHgLf10ln2N1qToe1muJCec0Hq1a3RxLTOGrY9VVSdZlsPqFKGrOJQYezmwFRoH3ri9483p18hLisUrvOibYYjH_iOCVoxXTFW8fMhXnqEuHIWdv_gjO2CIeyh_wbbONZ0MaGw1nQC4tIbIZzXHGw31kRtbkqbWtf02hVbqYzl8hwINi5O69xl6U=s0-d "\frac{(18)[3-1.97234]}{18-(-0.13152)}")
= 1.97979
= 1.97979|
n
|
x0
|
x1
|
x1
|
f(x0)
|
f(x1)
|
f(x2)
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
-1
1.8
1.84319
1.87919
1.90829
1.93120
1.94888
1.96229
1.97234
|
3
3
3
3
3
3
3
3
3
|
1.8
1.84319
1.87919
1.90829
1.93120
1.94888
1.96229
1.97234
1.97979
|
-42
-0.672
-0.57817
-0.47975
-0.38595
-0.30269
-0.23262
-0.17597
-0.13152
|
18
18
18
18
18
18
18
18
18
|
-0.672
-0.57817
-0.47975
-0.38595
-0.30269
-0.23262
-0.17597
-0.13152
-0.09741
|
Jadi akar dari persamaan 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi adalah 1.97979
Tidak ada komentar:
Posting Komentar