Friska Pratiwi: Metode Secant (Secant Method)

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x₀, f(x₀)) dan (x₁, f(x₁)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Persamaan garis l adalah

$\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

Karena x = x₂ maka y = 0, sehingga diperoleh

$\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ – x₁ = $-\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ = x₁ – $\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

= x₁ – $\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}$

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

x_n+1 = x_n – $\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x₀ dan x₁. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x₂ menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x₁ dan x₂ sebagai titik awal dan hitung x₃. Kemudian ambil x₂ dan x₃ sebagai titik awal dan hitung x₄. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x₀ = -1 dan x₁ = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)

f(-1) = 4(-1)³ – 15(-1)² + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}$ = 1.8

iterasi 2 :

ambil x₁ = 3 dan x₂ = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)³ – 15(1.8)² + 17(1.8) – 6 = -0.672

x₃ = (1.8) – $\frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18}$ = 1.84319

iterasi 3 :

ambil x₂ = 1.8 dan x₃ = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)³ – 15(1.84319)² + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

x₄ = (1.84319) – $\frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)}$ = 2.10932

iterasi 4 :

ambil x₃ = 1.84319 dan x₄ = 2.10932

f(2.10932) = 4(2.10932)³ – 15(2.10932)² + 17(2.10932) – 6 = 0.65939

x₅ = (2.10932) – $\frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)}$ = 1.96752

iterasi 5 :

ambil x₄ = 2.10932 dan x₅ = 1.96752

f(1.96752) = 4(1.96752)³ – 15(1.96752)² + 17(1.96752) – 6 = -0.15303

x₆ = (1.96752) – $\frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)}$ = 1.99423

iterasi 6 :

ambil x₅ = 1.96752 dan x₆ = 1.99423

f(1.99423) = 4(1.99423)³ – 15(1.99423)² + 17(1.99423) – 6 = -0.02854

x₇ = (1.99423) – $\frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)}$ = 2.00036

iterasi 7 :

ambil x₆ = 1.99423 dan x₇ = 2.00036

f(2.00036) = 4(2.00036)³ – 15(2.00036)² + 17(2.00036) – 6 = 0.00178

x₈ = (2.00036) – $\frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)}$ = 2.00000

iterasi 8 :

ambil x₇ = 2.00036 dan x₈ = 1.999996

f(1.999996) = 4(1.999996)³ – 15(1.999996)² + 17(1.999996) – 6 = -0.0002

x₉ = (1.999996) – $\frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178}$ = 2.0000

iterasi 9 :

ambil x₈ = 1.999996 dan x₉ = 2.00000

f(2.00000) = 4(2.00000)³ – 15(2.00000)² + 17(2.00000) – 6 = 0.00000

x₁₀ = (2.00000) – $\frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)}$ = 0.00000

n	x_n-1	x_n	x_n+1	f(x_n-1)	f(x_n)	f(x_n+1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000	3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000	1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000 2.00000	-42 18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002	18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000	-0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000 0.00000

Jadi salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 adalah 2

Friska Pratiwi

Sabtu, 13 April 2013

Metode Secant (Secant Method)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

khas